Počítačové metody mechaniky v dynamice

1. Problém vlastních hodnot

V podstatě se rozlišují dva druhy problémů vlastních hodnot

· Standardní

· Zobecněný

Standardní

Vychází se ze soustavy algebraických rovnic ve tvaru

Hledají se vlastní čísla matice , tak aby platilo

Příklad

Stanovte vlastní čísla matice

Po zpětném dosazení do soustavy algebraických rovnic nelze explicitně vypočítat , protože obě rovnice jsou lineárně závislé. Tedy např. pro první vlastní číslo

Obvykle se některá z neznámých volí a ostatní se dopočítávají.

Zobecněný

Vychází se z pohybové rovnice pro volné netlumené kmitání (volné kmitání)

Předpokládané řešení

a po dosazení

Zobecnění je dáno tím, že místo jednotkové matice je matice hmotnosti. Převedení na standardní se provede vynásobením

Nutnou a postačující podmínkou pro to, aby soustava rovnic měla nenulové netriviální řešení je, aby determinant matice soustavy byl roven nule. Determinant se nazývá frekvenční determinant. Vlastní hodnoty jsou pro úlohy dynamiky vlastní frekvence kmitání dynamického systému (frekvenční spektrum). Neznámé v tomto případě představují pravostranné vlastní vektory (kmitna). Po uspořádání se obdrží modální matice pravostranných vektorů - . Obdobně bychom mohli stanovit levostranné vektory.

Levostranné vektory -

Po transponování této rovnice

Odkud se stanoví levostranné vlastní vektory. Vlastní čísla jsou stejné. V případě, že platí jsou levostranné a pravostranné vektory stejné

Normování

· Vzhledem k jedničce

· Vzhledem k matici hmotnosti

kde je spektrální matice

Podmínky ortogonality

Podmínky ortoganility (kolmosti) vyjadřují nezávislost vlastních tvarů na sobě. Tato skutečnost má dva důsledky:

1. Při harmonickém buzení frekvencí rovné vlastní kmitá soustava pouze jediným tvarem kmitu s frekvencí rovnou budící frekvenci.

2. V případě, že je znám určitý tvar kmitání, nelze na základě této znalosti usuzovat jak budou vypadat (případně je odvodit) ostatní tvary kmitání.

Stavový prostor

V podstatě je to snížení řádu pohybové rovnice

Maticový zápis

Zkráceně (pro volné kmitání v homogenním tvaru)

Horní podtržítka značí tzv. rozšířené veličiny. Předpokládané řešení

. reálná část komplexní ho vlastního čísla představuje tlumení a imaginární část vlastní frekvenci tlumeného kmitání.

Metody stanovení vlastních čísel a vektorů

· Frekvenční determinant

· Lancoszova metoda

· Metody založené na podobnostní transformaci

Metoda	Typ matice	Poznámka
Jacobi	symetrická	úplný problém
LR algoritmus	nesymetrická	úplný problém
QR algoritmus	nesymetrická	úplný problém
QZ algoritmus	nesymetrická	úplný problém
Lanczosova	nesymetrická	částečný
Mocninová	nesymetrická	částečný
Housenholderova	nesymetrická	částečný

Důležité veličiny

- vlastní číslo je komplexně sdružené

- vlastní frekvence netlumeného kmitání

- vlastní frekvence tlumeného kmitání

- součinitel doznívání, b – součinitel tlumení

kritický útlum -

- poměrný útlum

- logaritmický dekrement útlumu

Stanovení tlumení z amplitudové charakteristiky. Šířka je stanovena pro amplitudu nebo při poklesu o 3 dB

Q - faktor

Pokles o 3 dB odpovídá hodnotě 70.7 %, nebo také hodnotě (nominální šířka pásma).

V případě že se vlastní frekvence netlumeného málo liší od vlastní frekvence tlumeného systému, lze přibližně pro stanovení poměrného útlumu (Q faktoru) použít vlastní frekvenci tlumeného systému.

Vlastní hodnoty jsou obecně komplexně sdružená čísla. Reálná část odpovídá tlumení a imaginární je vlastní frekvence kmitání. Reálná část rozhoduje o stabilitě dynamického systému. Kladná znamená nestabilní a záporná stabilní. Vlastní čísla lze zobrazit v Gausově rovině. Každému vlastnímu číslu odpovídá i určitý tvar odezvy v časové oblasti.

Rayleighův kvocient

Využívá se pro přibližné stanovení zpravidla nejnižší vlastní frekvence. Patří mezi přibližné metody řešení dynamických vlastností kontinuí.

Pro r-tou (zpravidla nejnižší) vlastní frekvenci pak je

odtud

Ritzova metoda

Podstata metody: Rayleighův kvocient leží v intervalu přesných hodnot vlastních úhlových rychlostí. Proto se vlastní tvar aproximuje lineární kombinací nezávislých funkcí, které splňují OP. Vlastní tvar minimalizuje Rayleighův kvocient. Např. pro jednorozměrné kontinuum

Pak

a musí být

pro

Obdrží se soustava n homogenních algebraických rovnic. Pro jeden konečný prvek není mezi Ritzovou metodou a MKP žádný rozdíl.

2. Metody redukce

V podstatě je to snížení řádu úloh (snížení počtu stupňů volnosti). Metody:

1. Přímá

2. Fyzikální

3. Guyanova

4. Modální

5. Ve frekvenční oblasti

2.1 Přímá redukce

Je to přímé vynechání řádků a sloupců.

2.2 Fyzikální redukce

Někdy se této metodě říká metoda přetvořením mechanického modelu. V podstatě se používají dva druhy. Dva pružné členy se redukují na jeden a druhý, kdy se dva setrvačné členy redukují na jeden.

Příklady redukce

2.3 Guyanova redukce

Někdy je tato metoda nazývána jako statická kondenzace. Podstata spočívá v rozdělení matice tuhosti na hlavní (m - master) a vedlejší (s - slave) prvky, přičemž vedlejší nesmí být zatíženy.

Po dosazení za z druhé rovnice do první je

pak

Transformační matice pak má tvar

Celá pohybová rovnice

a dále po násobení transponovanou transformační maticí zleva

2.4 Modální redukce

Podstatou je transformace pohybové rovnice z fyzikálních souřadnic do hlavních. Fyzikální souřadnice mají rozměr, hlavní nemají. Transformační rovnice má tvar

kde je modální matice pravostranných vektorů

Pohybová rovnice ve fyzikálních souřadnicích

Po násobení transponovanou modální maticí (obecně) levostranných vlastních vektorů se obdrží

S přihlédnutím k normě vzhledem k matici hmotnosti se obdrží

Jeli matice diagonální (případ tzv. komutativního tlumení), rozpadá se soustava n diferenciálních rovnic druhého řádu na n nezávislých diferenciálních rovnic druhého řádu. V tomto případě lze analyzovat příspěvek jednotlivých tvarů kmitání na celkové odezvě. Redukce nyní spočívá v zahrnutí pouze určitého počtu tvarů kmitání do řešení, tedy

je pohybová rovnice řádu .

2.5 Redukce ve frekvenční oblasti

Výchozím vztahem pro redukci ve frekvenční oblasti je vztah pro dynamickou poddajnost (viz níže)

Do řešení zahrne pouze určitý počet vlastních hodnot a určitý počet souřadnic ve vlastních vektorech. Například v případě zahrnutí pouze druhého a pátého prvku ve vlastních vektorech má čitatel (Dyadický součin) tvar. Přidáním dalšího vlastního čísla (vektoru) se řád matice nemění.

3. Proporcionální tlumení

Velmi častý případ výpočtového modelování tlumení ( viskózní tlumení). Předpoklad:

Po úpravě

pro j-tý tvar kmitu

- hlavní (modální) tlumení

- hlavní (modální) hmotnost

- hlavní (modální) tuhost

Nebo

Jak již bylo uvedeno, vlastní frekvenci tlumeného kmitání a součinitel doznívání, resp. poměrný útlum lze stanovit experimentálně. Zde mohou nastat tři základní případy.

1. Případ – znají se vlastní frekvence a poměrné útlumy od dvou tvarů kmitání. Koeficienty a se stanoví ze soustavy dvou algebraických rovnic

2. Případ – zná se vlastní frekvence a poměrný útlum jenom od jednoho tvaru kmitání. Druhá rovnice se stanoví za předpokladu, že v převážné většině technických aplikací je nejméně tlumen nejnižší tvar kmitání. Tedy z podmínky extrému lze stanovit rovnici

Koeficienty a se stanoví ze soustavy dvou algebraických rovnic

3. Případ – znají se vlastní frekvence a poměrné útlumy od více jak dvou tvarů kmitání. Koeficienty a se stanoví z přeurčené soustavy algebraických rovnic

Poznámka:

· Zpravidla se volí koeficient

· Koeficientem se modeluje konstrukční tlumení

· Koeficientem se modeluje materiálové tlumení

· Pozor, oba koeficienty mají rozměr

4. Odezva při vynuceném kmitání ( vynucené kmitání)

Pohybová rovnice

kde je buzení soustavy ( vnější síla, moment). Řešení se skládá z řešení homogenní části a partikulárního integrálu, tedy

Dva základní případy

· Ustálené kmitání (řešení ve frekvenční oblasti) – partikulární integrál

· Přechodové kmitání (odezva v časové oblasti)

4.1 Odezva při vynuceném ustáleném kmitání

Pohybová rovnice za předpokladu harmonického buzení má tvar ( amplituda buzení je komplexní)

kde je amplituda budících účinků (vnější síla, moment)

Řešení se předpokládá ve tvaru

Po dosazení

dynamická tuhost (přímá dynamická tuhost, fázově posunutá dynamická tuhost)

Dynamická poddajnost

Obdobně při řešení ve stavovém prostoru

Dynamická poddajnost má v tomto případě tvar (vynechán horní pruh)

Dynamickou poddajnost lze rovněž stanovit na základě modální transformace. V tomto případě je

Poznámka: v čitateli je tzv. dyadický součin.

Pak odezvu při vynuceném ustáleném kmitání lze stanovit ze vztahů

Bez redukce

Při využití Guanovy redukce

Při využití modální redukce (transformace)

Při využití redukce ve frekvenční oblasti

Pro 1 st. volnosti

komplexní funkce frekvenční odezvy (přenosová funkce při aplikaci Laplaceovy transformace)

Modul a fáze

Poznámka

Stav kdy je frekvence buzení rovna vlastní (tlumeného i netlumeného kmitání) se nazývá rezonance (opak antitrezonance).

Metoda trigonometrických kolokací

Tato metoda kombinuje řešení odezvy při vynuceném ustáleném kmitání s řešením v časové oblasti. Jedná se o poměrně novou metodu. Buzení soustavy lze vyjádřit buď v reálném, nebo komplexní m oboru. V této kapitole bude celá analýza provedena v reálném oboru. Předpokládejme, že buzení je periodické se známými násobky budící frekvence, které lze zapsat jako prvky množiny s prvky ve tvaru

kde .

Předpokládejme, že i odezva je periodická s předpokládanými násobky budící frekvence, které lze zapsat jako prvky množiny s prvky ve tvaru

kde .

budící sílu při zahrnutí statického zatížení tak lze obecně vyjádřit ve tvaru

kde indexy značí sinovou a kosinovou složku. Řešení pohybové rovnice předpokládejme ve stejném tvaru

Volba počtu a typu násobků závisí na typu nelinearity vazebného elementu. Obecně nelineární pohybová rovnice s ohledem na aplikaci metody trigonometrické kolokace v rotorových soustavách má tvar

Pro rychlost a zrychlení platí

Po dosazení a porovnáním členů u stejných neznámých se po úpravě obdrží

Označení pro kolokační čas

Zkráceně pak

Goniometrické funkce v rovnicích jsou pro daný čas a násobek konstanty. Konkrétní časové okamžiky se stanoví rozdělením nejmenší periody v požadovaném spektru odezvy na konečný počet hodnot. Pak má pohybová rovnice má tvar

4.2 Odezva při přechodovém kmitání

Je to řešení v časové oblasti. Fourierovou transformací ( rychlá Fourierova transformace) lze získat řešení ve frekvenční oblasti.

Pohybová rovnice

kde je buzení soustavy ( vnější síla, moment)

počáteční podmínky pro pohybu hřídele jsou dány vztahy

Odezva při přechodovém kmitání

Na základě modální transformace

Na základě Laplaceovy transformace

Pohybová rovnice

dále je - parametr Laplaceovy transformace

- matice dynamických tuhostí

- matice dynamických poddajností

- z toho se určí vlastní čísla

kde pro 1 st. volnosti

kde je tzv. Duhamelův integrál

Metody přímé integrace pohybových rovnic

V podstatě se metody dělí na explicitní a implicitní.

Metody: - explicitní (Diferenční, R-K) -

(kinematika)

- implicitní (Newmarkova, R-K) -

Metody Runge-Kuttovy (R-K)

Druhy:

- explicitní

- implicitní

Řešení diferenciální rovnice ( stavový prostor)

odkud

Podstata metod

kde - jsou konstanty

- funkční hodnoty

Metoda druhého řádu

Metoda třetího řádu

Metoda čtvrtého řádu

Metoda centrálních diferencí

Newmarkova metoda

5. Kmitání kontinua

Zde budou analyzovány pouze některé základní typy kontinua ( spojitý model).

Poznámka: srovnání s tuhým tělesem (tuhé těleso)

1. Podélné kmitání prutů

2. Torzní kmitání prutů

3. Příčné kmitání prutů

4. Kmitání membrán

5. Kmitání desek

Základní vztahy pro sestavení výchozí rovnice pro analýzu dynamických vlastností

1. Rovnice rovnováhy (pohybová), zatížení zde představuje spojitě rozložené zatížení.

2. Konstitutivní vztahy (Hookeův zákon)

3. Rovnice kompatibility (spojitosti)

5.1 Podélné kmitání prutů

1. Newtonův přístup

1. Rovnice rovnováhy (pohybová)

kde je axiální síla (síla)

2. Konstitutivní vztahy (Hookeův zákon)

kde je axiální napětí

3. Rovnice kompatibility (spojitosti)

Shrnutí

Potom

Řešení (zavedení substituce)

Analýza volného netlumeného kmitání (modální vlastnosti)

Po dosazení do pohybové rovnice

Řešení

Příklad: oboustranně vetknutá tyč:

2. Přístup na základě MKP

Princip virtuálních prací – obecně

MKP:

odkud pro setrvačné síly

pro elastické (vnitřní síly)

Hookeův zákon

Výsledný vztah

5.2 Torzní kmitání

Newtonův přístup

1. Rovnice rovnováhy (pohybová)

kde M je kroutící moment, je úhlové natočení, (druhá derivace podle času je úhlové zrychlení)

2. Konstitutivní vztahy (Hookeův zákon)

3. Rovnice kompatibility (spojitosti)

Shrnutí

Potom

Řešení

Analýza volného netlumeného kmitání (modální vlastnosti)

Po dosazení do pohybové rovnice

Řešení

Příklad: oboustranně vetknutá tyč:

5.3 Příčné kmitání prutů ( ohybové)

Newtonův přístup

Výsledná rovnice pro příčné (volné netlumené) kmitání prutů

Řešení

Analýza volného netlumeného kmitání (modální vlastnosti)

Po dosazení do pohybové rovnice

kde

a dále

Obecné řešení lze vyjádřit několika způsoby, přičemž nejvýhodnější je ve tvaru tzv. Rayleighových, (Krylovových) funkcí), kde je průhyb nosníku

kde

Výhoda např.

, atd.

a navíc respektují OP

Typy OP:

Příklad OP jednostranně vetknutého prutu (vetknutý nosník)

Pro x = 0,

Pro x = l,

Poznámka: obdobně pro ostatní okrajové podmínky, případně jejich kombinace (rotační vazba, resp. obecná). Vyšší tvary kmitání mají po délce uzly (uzel).

5.4 Kmitání membrán

Membrány nepřenášejí ohybové momenty.

Druhy:

- kruhové

- obdélníkové

Řešení:

- v kartézských souřadnicích - obdélníkové

- v polárních souřadnicích - kruhové

Pohybová rovnice

Obdélníková membrána

Laplaceův operátor

Obecné řešení (pro průhyb) tvar

OP + tvary kmitání

ve směru x : 2

ve směru y : 2

Kruhová membrána

Obecné řešení má tvar (pro průhyb)

a pak dále

OP + tvary kmitání

5.5 Kmitání desek

Desky přenášejí ohybové momenty.

Druhy:

- kruhové

- obdélníkové

Řešení:

- v kartézských souřadnicích - obdélníkové

- v polárních souřadnicích - kruhové

Pohybová rovnice

Obdélníková deska

kde

Obecné řešení (pro průhyb) má tvar

OP + tvary kmitání

ve směru x : 4

ve směru y : 4

Příklad: Stanovte okrajové podmínky pro obdélníkovou desku na jednom okraji vetknutou a na druhém podepřenou

Pro x = 0, ,

Pro x = a, ,

Pro y = 0, ,

Pro y = b, ,

Kruhová deska

Laplaceův operátor

Obecné řešení má tvar

Řešení v obvodovém směru

Řešení v radiálním směru

OP + tvary kmitání (analogie s příčným kmitání prutů)

v radiálním směru: 4

Příklad 1

Stanovte okrajové podmínky pro desku s otvorem na vnitřním poloměru volnou a na vnějším vetknutou

Pro

Příklad 2

Stanovte okrajové podmínky pro desku bez otvoru a na vnějším podepřenou

Pro

Poznámka:

Řešení dynamických vlastností kmitání membrán a desek zpravidla vede na řešení řadami, tedy Besselovými funkcemi. Besselovy funkce jsou různých druhů. Besselovy funkce jsou řešením Besselovy diferenciální rovnice řádu N:

Besselovy funkce (viz Matlab) jsou:

BESSELJ(N,Z) Besselovy funkce prvního druhu, řádu N

BESSELY(N,Z) Besselovy funkce druhého druhu řádu N

BESSELI(N,Z) Modifikované Besselovy funkce prvního druhu řádu N

BESSELK(N,Z) Modifikované Besselovy funkce druhého druhu řádu N

BESSELH(N,K,Z) Hankelova funkce řádu N

AIRY(K,Z) Airyho funkce

Shrnutí

Membrána

Deska

Obdélníková

Obecné řešení

Kruhová

Obecné řešení

a dále

Obecné řešení

a dále

Tvary kmitu:

· uzlové čáry (obdélníkové)

· uzlové plochy (obdélníkové)

· uzlové průměry (kruhové)

· uzlové kružnice (kruhové)

6. Metoda přenosových matic

V nedávné době velmi používaná metoda pro řešení kmitání řady konstrukcí. Je nenáročná na paměť počítače.

Poznámky

- matici je neznámá frekvence

- zahrnutí OP

- výpočet vlastních vektorů

- řešení vynuceného ustáleného kmitání

- řešení přechodového kmitání

- možná kombinace MKP a MPP

Příklad

Sestavení rovnice pro analýzu dynamických vlastností volného netlumeného kmitání dynamického řetězce na jedné straně vetknutého a na druhé straně volného.

Úplně uvolněné i-té těleso je na obrázku. Uzly jsou označeny písmeny 1 a 2.

Pohybová rovnice z pohledu MKP má tvar

Předpokládané řešení pro případ harmonického buzení a kmitání

Po dosazení

Po převedení do tvaru vhodného pro metodu přenosových matic

Výsledná rovnice pro konečný prvek má tvar

a matice přenosu

Přenos mezi místem 1 a n se stanoví násobením lokálních přenosových matic. Po zahrnutí okrajových podmínek má výsledná rovnice tvar

Z druhé rovnice potom je

Nutnou a postačující podmínkou pro to, aby soustava rovnic měla nenulové netriviální řešení je, aby determinant matice soustavy byl roven nule, tedy

V obecnějším případě je submatice funkcí frekvence. frekvence pro níž je determinant roven nule je vlastní frekvence volného netlumeného kmitání otevřeného řetězce. Zpětným dosazením vlastních frekvencí do rovnic pro přenos mezi jednotlivými uzly se pro jednu zvolenou veličinu (matice je singulární) vypočítají vlastní vektory.

Metoda konečných prvků

(silová varianta – neznámé jsou síly)

(deformační varianta – neznámé jsou deformace)

7. Citlivostní analýza

V podstatě chceme stanovit, na změnu kterého parametru jsou nejvíce citlivé modální vlastnosti dynamického systému. Chceme tedy stanovit:

Postup – pouze pro

Výsledkem pak je matice

8. Ladění mechanických soustav

Vektor naladění

Vektor parametrů

Vektor požadovaných modálních veličin

Vektor vybraných neznámých (vypočítaných) parametrů

Matematická formulace ladění

Metoda postupných lineárních aproximací

Taylorův rozvoj

Jacobiho matice zobrazení (matice ladění, nebo matice citlivosti)

maticově

zkráceně

odtud s ohledem na výsledné řešení je

Postup ladění

známe

1. Určení všech modálních vlastností –

2. Výběr požadovaných modálních vlastností –

3. Citlivostní analýza – kompletní

4. Výběr parametrů pro ladění - pro největší spády

5. Volba chyby

6. Rozhodnutí o zavedení přípustné oblasti

7. Proces ladění - iterace

9. Metody řešení nelineárního kmitání

Metody. Přímá linearizace

Ekvivalentní linearizace

Taylorův rozvoj

Přímá linearizace

Ekvivalentní linearizace

Předpoklad: harmonické buzení

harmonické kmitání

a dále

Podstata – rozvoj funkce ve Fourierovu řadu

kde koeficienty jsou

Taylorův rozvoj

Podstata spočívá v rozvoji nelineární funkce v Taylorovu řadu, přičemž se berou v úvahu pouze její první ( lineární) členy. Předpoklad malých kmitů kolem rovnovážné polohy

Vlastnosti nelineární ho kmitání:

· subharmonické kmitání

· ultraharmonické kmitání

10. Stabilita pohybu

Stabilitu lze definovat z různých hledisek

· dynamická stabilita

· globální stabilita

· lokální stabilita

· stabilita struktury

· stabilita tvaru

· stabilita ve smyslu Lagrange

· stabilita ve velkém

· stabilita ve smyslu Ljapunova

· technická stabilita

Kritéria posouzení stability

· Na základě reálné části komplexní ho vlastního čísla

· Routhovo – Hurwitzovo kritérium

· Analýza ve fázové rovině

· Ljapunovy exponenty

· Floquetovo kritérium

· Analýza v Gausové rovině

Vlastní číslo - ( stabilita typu divergence, nebo flutter)

Routhovo - Hurwitzovo kritérium

Ve staticky rovnovážné poloze je rychlost pohybu nulová. Jestliže na soustavu nepůsobí vnější síly, které nemají potenciál, staticky rovnovážná poloha se stanoví (na základě Lagrangeových rovnic II. druhu) z rovnice

Jednou z možností o rozhodnutí stabilní, či nestabilní rovnovážné polohy je druhá derivace, tedy pro stabilní rovnovážnou polohu misí být

O tom zda bude staticky rovnovážná poloha stabilní, nebo labilní lze rozhodnout např. na základě Routhova – Hurwitzova kritéria. Nejdříve je nutno sestavit tzv. charakteristickou rovnici

Nutnou a postačující podmínkou pro to, aby charakteristická rovnice měla všechny kořeny se zápornou reálnou částí je splnění nerovností:

2. , ,

Ljapunova definice stability v tzv. „malém“

Nerozrušený pohyb je stabilní, jestliže pro každé kladné malé číslo lze nalézt takové kladné číslo , že pro všechny rušivé pohyby pro které platí bude pro všechna . Jestliže takové neexistuje, pohyb je nestabilní.

Fázová rovina (Hayashiho)

Jestliže se pohyb zastupujícího bodu blíží k ohnisku, dynamický systém je stabilní a pokud se vzdaluje, dynamický systém je nestabilní.

Ljapunovy exponenty

Exponenty polynomu rozhodují o stabilitě dynamického systému. Jejich výpočet je značně časově náročný a provádí se v časové oblasti.

Fluqetovo kritérium (Floquetova věta)

Floquetova teorie se vztahuje k soustavě lineárních obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu

kde matice A je spojitá periodická funkce s periodou T. Matice F se nazývá maticí fundamentálních řešení, přičemž sloupce jsou lineárně závislými řešeními. Pak lze řešení soustavy rovnic napsat ve tvaru

Matice

se nazývá přenosová, nebo také přechodová matice z času do času . Není-li matice funkcí času (konstantní), pak je matice přenosu dána vztahem

což je tzv. maticová exponenciála. Je-li matice funkcí času, pak je matice přenosu dána vztahem

Mezi časy 0 a T (perioda) pak je

nebo

(kdy je ). Matice se nazývá matice monodromie. Matice je dle Floquetovy věty regulární a rovnice představuje podobnostní transformaci (nemění se vlastní čísla matice před transformací a po ní). Pak vlastní čísla matice a matice jsou stejné. Pak stačí, posuzovat stabilitu pouze podle matice přenosu . Nutnou a postačující podmínkou pro to, aby dynamický systém byl stabilní je, aby velikost všech vlastních čísel mezi časy 0 a T ležela v rozsahu 0-1.

Stanovení matice (4 přístupy)

Homogenní tvar pohybových rovnic ve stavovém prostoru má tvar (pro zjednodušení zápisu je vynechán horní pruh)

tento lze upravit na tvar

nebo také

Matici přenosu je nejvýhodnější počítat numericky.

1. Přístup

Je-li časový úsek rozdělen na n časových kroků, pak

tedy přes maticovou exponenciálu

2. Přístup

Je-li časový úsek rozdělen na n časových kroků. Je-li časový krok integrace malý, lze během tohoto kroku považovat matici A za konstantní a platí

Při použití explicitní metody je

odtud

a matice přenosu mezi sousedními kroky výpočtu

3. Přístup

Je-li časový úsek rozdělen na n časových kroků. Je-li časový krok integrace malý, lze během tohoto kroku považovat matici A za konstantní a platí

Při použití implicitní metody je

odtud

a matice přenosu mezi sousedními kroky výpočtu

4. Přístup

Přímým výpočtem odezvy v čase T na základě zvolených počátečních podmínek. V podstatě se provádí opakovaně výpočet odezvy v čase T na základě zvolených počátečních podmínek. Tento výpočet se opakuje n krát.

K výpočtu odezvy v čase T lze využít některou z přímých metod integrace pohybových rovnic.

Poznámka: V případě použití metod přímé integrace pohybových rovnic lze rovněž využít Newmarkovu metodou, případně Runge – Kutha 4. řádu. Explicitní, nebo implicitní metoda zde byla ukázána pouze pro názornost

Analýza v Gausové rovině

Používá se při řešení vynuceného ustáleného kmitání. Pokud je pohyb zastupujícího bodu v Gausové rovině ve smyslu hodinových ručiček, dynamický systém je stabilní a naopak.

11. Dynamický tlumič vibrací

Pro jednoduchost bude ukázán princip dynamického tlumiče vibrací na kmitání soustav s 1 st. volnosti. Amplitudo frekvenční charakteristika má tvar

Amplitudová charakteristika původní soustavy

Požadavkem nyní je, aby v rezonanci byla amplituda minimální. Jedním ze způsobů jak toho lze dosáhnout je, přidat k tomuto dynamickému systému druhý. Tím se soustava s 1 st. volnosti změní na soustavu se 2 st. volnosti. Při buzení původní rezonanční frekvencí, těleso první kmitá minimálně avšak kmitá těleso druhé, přídavného tlumiče. Vhodným tlumičem umístěným na druhém tělese (tlumiče) se sníží i kmitání tohoto tělesa a dochází tak ke zmaření energie.

Amplitudová charakteristika nové soustavy

Poznámka: tlumič je funkční pouze při jedné budící frekvenci. V případě polyharmonického buzení je návrh tlumiče obtížnější.

12. Elektro mechanická analogie

Existuje analogie kmitání v mechanice a v elektrotechnice. Schéma mechanické soustavy je všeobecně známa, proto zde není nakreslena.

Odpovídající veličiny

Mechanika		Elektrotechnika
Hmotnost	m	Indukce	L
Tuhost	k	Elektrická elastance
Tlumení	b	Odpor	R
Buzení	Q	Časová změna napájecího napětí
Výchylka	q	Proud
Rychlost	v	Časová změna proudu
zrychlení	a	Druhá derivace proudu

Pohybové rovnice

Další veličiny

	Vlastní frekvence	Součinitel doznívání
Mechanika
Elektrotechnika

13. Příklady

Budou ukázány dva příklady na řešení odezvy při vynuceném ustáleném kmitání. Je to doplnění příkladů, které jsou ve studijních oporách pro dynamiku.

13.1 Příklad 1 – kinematické buzení

Je dána soustava těles podle obrázku. Základní těleso, ke kterému je vázán pružný člen koná harmonický pohyb . Kotouč o hmotnosti a poloměru je pevně spojen s tyčí o hmotnosti délky . , , , , , , , , , . Soustava se nachází ve staticky rovnovážné poloze a předpokládejte malé kmity kolem této polohy. Předpokládejte, že dynamický systém je lineární.

Pro danou soustavu řešte:

1. Stanovte vlastní frekvenci netlumeného a tlumeného kmitání a znázorněte amplitudovou charakteristiku.

2. Rozhodněte, zda v pásmu provozního buzení nastane vymezení vůle v.

Rozbor úlohy

Soustava těles představuje soustavu, která má jeden stupeň volnosti. K sestavení pohybové rovnice budou využity Lagrangeovy rovnice druhého druhu. K analýze kmitání lze přistupovat dvěma způsoby.

Schéma prvního způsobu je na prvním obrázku. Jako zobecněná souřadnice je zvoleno natočení soustavy, tedy . Výsledkem bude kontrola vymezení vůle podle vztahu .

Schéma druhého způsobu je na druhém obrázku. Jako zobecněná souřadnice je zvoleno posunutí koncového bodu na tyčce, tedy . Výsledkem bude kontrola vymezení vůle podle vztahu .

Mezi oběma přístupy, na základě kterých musí být dosaženy stejné výsledky a stejné závěry platí vztahy

V obou případech je nutno stanovit úhel , pro která platí

a také vzdálenost , pro kterou platí

Poznámky

· Při řešení nebudou uvažovány tíhové síly, protože soustava je v rovnovážné poloze.

· Pro odlišení zobecněných veličin (hmotnosti, tuhosti, tlumení a vnější síly), které jsou označeny v teoretické části od označení, které je použito v příkladu, budou zde tyto veličiny označeny nahoře hvězdičkou.

Řešení dle 1. přístupu

Pro aplikaci Lagrangeových rovnic druhého druhu je nutno stanovit kinetickou a potenciální energii, tlumící funkci a práci (výkon) vnějších sil, které nemají potenciál.

Kinetická energie

Zobecněná hmotnost má charakter osového momentu setrvačnosti k ose kolmé na rovinu kmitání. Při jejím stanovení je nutno použít Steinerovu větu.

Potenciální energie

Při stanovení potenciální energie je nutno vzít v úvahu jednak pohyb středu kotouče, kde je vázána pružina a potom pohyb základu, na který je pružina vázána.

Derivace potenciální energie podle zobecněné souřadnice

odkud pro zobecněnou tuhost je

Pro zatlumenou energii platí

odkud pro zobecněné tlumení je

Amplituda budících sil, které nemají potenciál bude stanovena na základě derivace potenciální energie podle zobecněné souřadnice

S ohledem na tvar kinetické energie, její parciální derivace podle zobecněné souřadnice je nulová. Výsledný tvar pohybové rovnice pak je

Vlastní frekvence volného netlumeného kmitání

Součinitel doznívání

Vlastní frekvence tlumeného kmitání

Na obr. 10 je nakreslena amplitudová charakteristika pro daný příklad.

Poměrný útlum následně je

S ohledem na rozsah provozního buzení a vlastní frekvenci tlumeného kmitání , nastane v pásmu provozního buzení rezonanční stav, při kterém bude maximální odezva. Stačí tedy zkontrolovat amplitudu při rezonančním stavu. Obecný vztah pro odezvu je

Rezonanční stav nastane, kdy je , což po dosazení

Svislé posunutí koncového bodu na tyčce je dáno vztahem

Vzhledem k tomu, že svislá amplituda kmitání koncového bodu je větší než vůle , nastane v daném pásmu provozního buzení vymezení vůle.

Poznámka: Obdobně by se postupovalo v případě, že by se pohybovalo základní těleso, na které je vázán tlumící člen. budící účinky by byly stanovena ze vztahu pro derivaci zatlumené funkce.

13.2 Příklad 2 – buzení rotujícím tělesem

Je dána soustava těles podle obrázku. Kotouč o hmotnosti a poloměru je pevně spojen s tyčí o hmotnosti délky . , , , , nevývaha , , , , , . Soustava se nachází ve staticky rovnovážné poloze a předpokládejte malé kmity kolem této polohy. Předpokládejte, že dynamický systém je lineární.

Pro danou soustavu řešte:

3. Stanovte vlastní frekvenci netlumeného a tlumeného kmitání a znázorněte amplitudovou charakteristiku.

4. Rozhodněte, zda v pásmu provozního buzení nastane vymezení vůle v.

Rozbor úlohy

Schéma prvního způsobu je uvedena výše. Jako zobecněná souřadnice je zvoleno natočení soustavy, tedy . Výsledkem bude kontrola vymezení vůle podle vztahu .

Schéma druhého způsobu je uvedena výše. Jako zobecněná souřadnice je zvoleno posunutí koncového bodu na tyčce, tedy . Výsledkem bude kontrola vymezení vůle podle vztahu .

Mezi oběma přístupy, na základě kterých musí být dosaženy stejné výsledky a stejné závěry platí vztahy

V obou případech je nutno stanovit úhel , pro která platí

a také vzdálenost , pro kterou platí

Poznámky

· Při řešení nebudou uvažovány tíhové síly, protože soustava je v rovnovážné poloze.

Řešení dle 1. přístupu

Pro aplikaci Lagrangeových rovnic druhého druhu je nutno stanovit kinetickou a potenciální energii, tlumící funkci a práci (výkon) vnějších sil, které nemají potenciál.

Kinetická energie

Zobecněná hmotnost má charakter osového momentu setrvačnosti k ose kolmé na rovinu kmitání. Při jejím stanovení je nutno použít Steinerovu větu.

Potenciální energie

Při stanovení potenciální energie je nutno vzít v úvahu jednak pohyb středu kotouče, kde je vázána pružina a potom pohyb základu, na který je pružina vázána.